f(x)=x^2*sin(1/x) x不等于0
        0                   x等于0

這是一个导函数在x=0处存在但不连续的例子。

但是由Lagrange中值定理，我可以证明导数在一点存在即连续。
证明如下：

已知f(x)在区间I上可导（当然也连续），任取区间中一点x0，该点导数存在，要证明该点连续。

任取在该点的某一领域内的一点x，在[x0，x](or [x，x0])满足lagrange中值定理的条件（连续，可导），所以

f(x)-f(x0)=f'(ξ)(x-x0)  x0<ξ<x

即 f(x)-f(x0)/x-x0=f'(ξ)

当x->x0，ξ->x0，所以两端取极限，得到 右导数=导数的右极限

同理，左导数=导数的左极限。

因为该点导数存在，所以左导数=右导数=f'(x0)，所以导数的左极限=导数的右极限=f'(x0)，即导函数在x0左连续且右连续，所以连续。

证毕。

我不知道证明的漏洞在哪。

相应地，如果应用Lagrange中值定理，那个例子也会出现矛盾。

[f(0+h)-f(0)]/h=f'(θh)，即 h*sin(1/h)= θh^2*sin(1/θh)-cos(1/θh)    0<θ<1

令h->0，θh->0，故右导数=导数右极限。但事实上，等式左端极限为零，右端极限不存在，矛盾。

难道矛盾在于不能对上面等式取极限？這令我很困惑不解，我觉得等式两端，一端极限存在，那另一端是可以取极限的，否则极限就无法演算下去了。

还请各位指导！

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